ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖಾಗಣಿತ

ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ (0,0)

ದೂರ ಸೂತ್ರ

A(x1,y1) ಮತ್ತು B(x2,y2) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ
  ________________
d = √  (x₂-x₁)2 + (y₂-y₁)2  

ದೂರ ಸೂತ್ರ

ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ P(x,y) ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರ √ (x2+ y2) 

ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ

A(x1,y1)ಮತ್ತು B(x2,y2) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ m1:m2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದು P(x,y) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು
P(x,y) = (
(m1x2+m2x1) / (m1+m2)
,
(m1y2+m2y1) / (m1+m2)
)

ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು

A(x1,y1)ಮತ್ತು B(x2,y2) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು
P(x,y) = (
(x2+x1) / 2
,
(y2+y1) / 2
)

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

(x1,y1), (x2,y2) ಮತ್ತು (x3,y3) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ
A =
1 / 2
 [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x₃(y₁ - y₂)]

ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:
P(x, y) = P(3, 4)
x = 3,
y = 4

P(x, y) = √ (x2+ y2) 

P(3,4) = √ (32+ 42) 

          = √ (9+ 16) 

          = √ 25 

          = 5

ಉತ್ತರ:
P(x, y) = P(-6, -8)
x = -6
y = -8

P(x, y)    = √ (x2+ y2) 

P(-6,-8) = √ (-6)2+ (-8)2 

             = √ (36+ 64) 

             = √ 100 

             = 10

ಉತ್ತರ:
P(x, y) = P(-8, 15)
x = 8
y = 15

P(x, y)    = √ (x2+ y2) 

P(-8,15) = √ (-8)2+ 152 

             = √ (64+ 225) 

             = √ 289 

             = 17

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (-5, 7)
(x2,y2) = (-1, 3)

AB = √ (x₂ - x₁)2+ (y₂ - y₁)2 

AB = √ (-1)-(-5)2+ (3-7)2 

AB = √ (-1)+52+ (-4)2 

AB = √ 42+ (-4)2 

AB = √ 16+ 16 

AB = √ 32 

AB = 2√ 2 

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (2, 3)
(x2,y2) = (6, 6)

PQ = √ (x₂ - x₁)2+ (y₂ - y₁)2 

PQ = √ (6-2)2+ (6-3)2 

PQ = √ 42+ 32 

PQ = √ 16+ 9 

PQ = √ 25 

PQ = 5

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (2, -2)
(x2,y2) = (14, 10)

PQ = √ (x₂ - x₁)2+ (y₂ - y₁)2 

PQ = √ (14-2)2+ ((10-(-2))2 

PQ = √ 122+ (10+2)2 

PQ = √ 144+ 122 

PQ = √ 144+ 144  

PQ = √ 288 

PQ = 12√ 2 

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (2, 4)
(x2,y2) = (3, 10)

P(x,y) = (
(x2+x1) / 2
,
(y2+y1) / 2
)

           = (
(2+3) / 2
,
(4+10) / 2
)

           = (
5 / 2
,
14 / 2
)

           = (
5 / 2
, 7 )

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (-3, 2)
(x2,y2) = (-1, -4)

P(x,y) = (
(x2+x1) / 2
,
(y2+y1) / 2
)

           = (
(-1+(-3) / 2
,
-4+2 / 2
)

           = (
-4 / 2
,
-2 / 2
)

           = (-2, -1 )

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (-3, 2)
(x2,y2) = (-1, -4)
m1:m2 = 3:1

P(x,y) = (
(m1x2+m2x1) / (m1+m2)
,
(m1y2+m2y1) / (m1+m2)
)

P(x,y) = (
3(8)+1(4) / 3+1
,
3(5)+1(-3) / 3+1
)

P(x,y) = (
24+4 / 4
,
15-3 / 4
)

P(x,y) = (
28 / 4
,
12 / 4
)

P(x,y) = (7, 3)

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (-1, 7)
(x2,y2) = (4, -3)
m1:m2 = 2:3

P(x,y) = (
(m1x2+m2x1) / (m1+m2)
,
(m1y2+m2y1) / (m1+m2)
)

P(x,y) = (
2(4)+3(-1) / 2+3
,
2(-3)+3(7) / 2+3
)

P(x,y) = (
8-3 / 5
,
-6+21 / 5
)

P(x,y) = (
5 / 5
,
15 / 5
)

P(x,y) = (1, 3)

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (1, -1)
(x2,y2) = (-4, 6)
(x3,y3) = (-3, -5)

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

A =
1 / 2
 [x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)]

A =
1 / 2
 [1(6-(-5))+(-4)(-5-(-1))+(-3)(-1-6)]

A =
1 / 2
 [1(6+5)+(-4)(-5+1)+(-3)(-7)]

A =
1 / 2
 [1(11)+(-4)(-4)+21]

A =
1 / 2
 [11+16+21]

A =
1 / 2
 [48]

A = 24

ಉತ್ತರ:
(x1,y1) = (2, 3)
(x2,y2) = (-1, 0)
(x3,y3) = (2, -4)

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

A =
1 / 2
 [x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)]

A =
1 / 2
 [2(0-(-4))+(-1)(-4-3)+2(3-0)]

A =
1 / 2
 [2(0+4)+(-1)(-7)+2(3)]

A =
1 / 2
 [2(4)+7+6]

A =
1 / 2
 [8+7+6]

A =
1 / 2
 [21]

A = 10.5

ಅಭ್ಯಾಸ ಲೆಕ್ಕಗಳು

(5, 12) ಬಿಂದುವು ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇರುವ ದೂರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: 13

ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (p, q) ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಮಾರ್ಚ್/ಎಪ್ರಿಲ್ 2018)

ಉತ್ತರ: √(p2+q2)

(2, 8) ಮತ್ತು (6, 8) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: 4

(3, 1) ಮತ್ತು (0, x) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 5 ಮಾನಗಳಾದರೆ x ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಜೂನ್ 2019)

ಉತ್ತರ: 5

A(8, 3) ಮತ್ತು B(2, 11) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: 10

(2, -3) ಮತ್ತು (k, 9) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 13 ಮಾನಗಳಾದರೆ k ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆ ಪತ್ರಿಕೆ 2019)

ಉತ್ತರ: 7

(-2, 1), (4, 6) ಮತ್ತು(6, -3) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ.ಈ ತ್ರಿಭುಜದ ಸುತ್ತಳತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಮಾರ್ಚ್ 2017)

ಉತ್ತರ: √61+√85+√80

(5, -2),(6, 4) ಮತ್ತು (7, -2) ಬಿಂದುಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳೇ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. (ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆ ಪತ್ರಿಕೆ 2019)
ಉತ್ತರ: ಹೌದು

(-3, 5)ಮತ್ತು (4, -9) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು 1:2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಜೂನ್/ಜುಲೈ 2020)

ಉತ್ತರ: (
-2 / 3
,
1 / 3
)

(1,6)ಮತ್ತು (4,3) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು 1:6 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ: (
10 / 7
,
39 / 7
)

A(5,2), B(4,7) ಮತ್ತು C(7,-4) ಬಿಂದುಗಳಿಂದಾದ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: 2

(1,-1), (-4,6) ಮತ್ತು C(-3,-5) ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: 24

A(0,5), B(6,11) ಮತ್ತು C(10,7) ಬಿಂದುಗಳು ∆ ABC ಯ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿದ್ದು, D ಮತ್ತು E ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB ಮತ್ತು AC ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. ಆದರೆ ∆ADE ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: 6

A(1,1), B(3,2) ಮತ್ತು C(5,3) ಈ ಬಿಂದುಗಳು ∆ ABC ಯ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಮರ್ಥಿಸಿ. (ಜೂನ್/ಜುಲೈ 2020)

A(8,-4), B(9,5) C(0,4) ಈ ಬಿಂದುಗಳು ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ. ಅದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ. (ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ 2020)