ವರ್ಗಸಮೀಕರಣಗಳು

ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣ

ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಚರಾಕ್ಷರದ ಮಹತ್ತಮ ಘಾತ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣ ಎನ್ನುವರು.

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಆದರ್ಶರೂಪ

ax² + bx + c = 0
a,b,c ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖೈಗಳು ಮತ್ತು a ≠ 0

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು

1) ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ
2) ವರ್ಗಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನ
3) ಸೂತ್ರ ವಿಧಾನ

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ

- b ±√ b2 - 4ac  / 2a

ಶೋಧಕ

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ b² - 4ac ಯನ್ನು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಶೋಧಕ ಎನ್ನುವರು.

ಮೂಲಗಳ ಸ್ವರೂಪ

ಮೂಲಗಳು ಮೂಲಗಳ ಸ್ವರೂಪ
b² - 4ac > 0 ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ
b² - 4ac = 0 ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಸಮ
b² - 4ac < 0 ಮೂಲಗಳು ಊಹಾಮೂಲಗಳು

ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:
x²+7x+12 = 0
x²+4x+3x+12 = 0
x(x+4)+3(x+4) = 0
(x+4)(x+3) = 0
(x+4) = 0 ಅಥವಾ (x+3) = 0
x = -4 ಅಥವಾ x = -3

ಉತ್ತರ:
2x²+5x-12 = 0
2x²+8x(-3)x-12 = 0
2x(x+4)-3(x+4) = 0
(x+4)(2x+3) = 0
(x+4) = 0 ಅಥವಾ (2x-3) = 0
x = -4 ಅಥವಾ x =
3 / 2

ಉತ್ತರ:
13m = 6(m²+1)
13m = 6m²+6
13m = 6(m²+1)
13m = 6m²+6
6m²+6-13m = 0
6m²-13m+6 = 0
6m²-9m-4m+6 = 0
3m(2m-3)-2(2m-3) = 0
(2m-3) (3m-2) = 0
(2m-3) = 0 ಅಥವಾ (3m-2) = 0
2m = +3 ಅಥವಾ 3m = +2
x =
3 / 2
ಅಥವಾ x =
2 / 3

ಉತ್ತರ:
15m²-11m+2 = 0
ax²+bx+c = 0
a = 15,     b = - 11,    c = 2
x =
- b ±√ b2 - 4ac  / 2a

m =
- (-11) ±√ (-11)2 - 4(15)(2)  / 2(15)

m =
11 ±√ (121-120)  / 30

m =
11 ±√ 1  / 30

m =
11 ± 1 / 30

m =
11 + 1 / 30
ಅಥವಾ m =
11 - 1 / 30

m =
12 / 30
ಅಥವಾ m =
10 / 30

m =
2 / 5
ಅಥವಾ m =
1 / 3

ಉತ್ತರ:
p = 5 - 2p²
p - 5 + 2p² = 0
2p² + p - 5 = 0
ax²+bx+c = 0
a = 2,     b = 1,     c = -5

x =
- b ±√ b2 - 4ac  / 2a


p =
- 1 ±√ 12 - 4(2)(-5)  / 2(2)


p =
- 1 ±√ 1 + 40  / 4


p =
- 1 ±√ 41  / 4


p =
- 1 + √ 41  / 4
ಅಥವಾ

p =
- 1 - √ 41  / 4

ಉತ್ತರ:
2y²+6y = 3
2y²+6y-3 = 0
ax²+bx+c = 0
a = 2,     b = 6,     c = -3

x =
- b ±√ b2 - 4ac  / 2a


y =
- 6 ±√ 62 - 4(2)(-3)  / 2(2)


y =
- 6 ±√ 36+ 24  / 4


y =
- 6 ±√ 60  / 4


y =
- 6 ±2√ 15  / 4


y =
- 3 ±√ 15  / 2


y =
- 3 +√ 15  / 2
ಅಥವಾ

y =
- 3 -√ 15  / 2

ಉತ್ತರ:
2x²-4x+1 = 0
ax²+bx+c = 0
a = 4,     b = -4,     c = 1

ಶೋಧಕ = ∆ = b² - 4ac = (4)² - 4(4)(1)
= 16 - 16
∆ = 0
ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಸಮ.

ಉತ್ತರ:
2x² = 5x+1
2x²-5x-1 = 0
ax²+bx+c = 0
a = 2,     b = -5,     c = -1

ಶೋಧಕ = ∆ = b²-4ac
= (-5)²-4(2)(-1)
= 25+8
∆ = 33 > ೦
ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ.

ಉತ್ತರ:
3d²-2d+1 = 0
ax²+bx+c = 0
a = 3,    b = -2,     c = 1

ಶೋಧಕ = ∆ = b²-4ac
= (-2)²-4(3)(1)
= 4-12
∆ = -8 < 0
ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:
ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯು x ಆಗಿರಲಿ.
ಮತ್ತೊಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯು (x+2) ಆಗುತ್ತದೆ.
ಗುಣಲಬ್ಧ = 195
x(x+2) = 195
x²+2x-195 = 0
x²+15x-13x-195 = 0
x(x+15)-13(x+15) = 0
(x+15)(x-13) = 0
x+15 = 0 ಅಥವಾ x-13 = 0
x = -15 ಅಥವಾ x = 13

ಉತ್ತರ:
ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ದೋಣಿಯ ಜವ = (18-x) km/h
ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ದೋಣಿಯ ಜವ = (18+x) km/h
ಪ್ರವಾಹದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ =
ದೂರ / ವೇಗ
=
24 / (18-x)
ಗಂಟೆ
ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ =
24 / (18+x)
ಗಂಟೆ
24 / (18-x)
-
24 / (18+x)
= 1
24(18+x)-24(18-x) = (18-x)(18+x)
24(18)+24x-24(18)+24x = (18)²-(x)²
48x = 324 - x²
48x-324+x² = 0
xx²+48x-324 = 0
xx²+54x-6x-324 = 0
x(x+54)-6(x+54) = 0
(x+54)(x-6) = 0
x+54 = 0 ಅಥವಾ x-6 = 0
x = -54 ಅಥವಾ x = 6
ಪ್ರವಾಹದ ಜವ = x = 6 km/h

ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

(x+1) / 2
=
1 / x
ನ್ನು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಆದರ್ಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. (ಜೂನ್ 2020)

2x²-5x+3 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಶೋಧಕದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. (ಜೂನ್ 2020)

√ 3x2+ 6  = 9 ರ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಪೂರ್ವಸಿದ್ದತಾ ಪರೀಕ್ಷೆ 2020)

2x²-5x+3 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಶೋಧಕದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. (ಜೂನ್ 2020)

x²-8x+1 = 0 ಈ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ. (ಜೂನ್ 2020)

(x+4)(x+3) = 0 ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲವು -4 ಆದರೆ ಆ ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಸಪ್ಟೆಂಬರ್ 2020)

3x²-5x+2 = 0 ವರ್ಗಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಮಾರ್ಚ್/ಎಪ್ರಿಲ್ 2019)

A ಮತ್ತು B ಎಂಬ ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವಯಸ್ಸು ಕ್ರಮವಾಗಿ 19 ವರ್ಷಗಳು ಮತ್ತು 15 ವರ್ಷಗಳಾಗಿವೆ. ಎಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಇವರಿಬ್ಬರ ವಯಸ್ಸುಗಳ ಗುಣಲಬ್ದವು 480 ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಜೂನ್ 2019)

ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
21y² = 62y+3

ಉತ್ತರ : y = 3 ಅಥವಾ y = -
1 / 21

ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
x²-3x+10 = 0

ಉತ್ತರ : x = -15 ಅಥವಾ x = -2

ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
m-
7 / m
= 6

ಉತ್ತರ : m = 7 ಅಥವಾ m = -1

ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
p-p² = p

ಉತ್ತರ : p = -3 ಅಥವಾ p = 2

ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
8r² = r+2

ಉತ್ತರ : r =
(1+√65) / 16
ಅಥವಾ
r =
(1-√65) / 16

ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
15m²-11m+2 = 0

ಉತ್ತರ : m =
2 / 5
ಅಥವಾ m =
2 / 6

ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
m² = 2+2m

ಉತ್ತರ : m = 1+√3 ಅಥವಾ m = 1-√3

ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
x²+7x-60 = 0

ಉತ್ತರ : x = -15 ಅಥವಾ x = -2

ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
x²+12x+36 = 0

ಉತ್ತರ : x = -6

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ ವಿವೇಚಿಸಿ.
a²-4a+4 = 0

ಉತ್ತರ : ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಸಮ.

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ ವಿವೇಚಿಸಿ.
x²+3x-4 = 0

ಉತ್ತರ : ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಲ್ಲ.

ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವ ವಿವೇಚಿಸಿ.
2n²-5n-1 = 0

ಉತ್ತರ : ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ.

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ರೈಲಿನಲ್ಲಿ 196 km ಗಳಷ್ಟು ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ. ಹಿಂದಿರುಗುವಾಗ ರೈಲಿಗಿಂತ ಗಂಟೆಗೆ 21 km ಹೆಚ್ಚಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಸಂಚರಿಸುವ ಕಾರಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ. ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯಾಣಕ್ಕೆ 11 ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ರೈಲಿನ ಮತ್ತು ಕಾರಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ : ರೈಲಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ = 28km/h
ಕಾರಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ = (28+21) km/h = 49 km/h

ಅನಿರುದ್ದನು ಕೆಲವು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ರೂ. 60 ಕ್ಕೆ ಕೊಂಡನು. ಅಷ್ಟೇ ಹಣಕ್ಕೆ ಅವನು ಇನ್ನೂ 5 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪುಸ್ತಕದ ಬೆಲೆ ರೂ. 1 ಕಡಿಮೆ ಆಗುತ್ತಿತ್ತು. ಅನಿರುದ್ದನು ಕೊಂಡು ಕೊಂಡ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಾಗೂ ಪ್ರತಿ ಪುಸ್ತಕದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉತ್ತರ : ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 15
ಪ್ರತಿ ಪುಸ್ತಕದ ಬೆಲೆ = ರೂ. 4