ತ್ರಿಭುಜಗಳು

ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

ತ್ರಿಭುಜಗಳು:

ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಏಕ ರೇಖಾಗತವಲ್ಲದ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ತಮ್ಮ ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸರಳರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಭುಜ ಎನ್ನುವರು.

ಸಮರೂಪ ಆಕೃತಿಗಳು:

ಒಂದೇ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸಮರೂಪ ಆಕೃತಿಗಳು ಎನ್ನುವರು.

ಸಮರೂಪತೆಗೆ ನಿಬಂದನೆಗಳು:

ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದೇ ಇರುವ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪಿಗಳಾಗಬೇಕಾದರೆ,
ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.
ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು.(ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರಬೇಕು)

ಸರ್ವ ಸಮ ಆಕೃತಿಗಳು:

ಒಂದೇ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸರ್ವಸಮ ಆಕೃತಿಗಳು ಎನ್ನುವರು.

ಸಂಕೇತಗಳು:

ಸಮ ರೂಪದ ಸಂಕೇತ ∼
ಸರ್ವ ಸಮತೆಯ ಸಂಕೇತ ≅

ಸೂಚನೆಗಳು:

1) ಸರ್ವ ಸಮ ಆಕೃತಿಗಳು ಸಮರೂಪ ಆಕೃತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.
2) ಸಮರೂಪ ಆಕೃತಿಗಳು ಸರ್ವ ಸಮ ಆಕೃತಿಗಳು ಆಗಿರಲೇಬೇಕಂದಿಲ್ಲ.

ಸಮರೂಪ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ನಿರ್ದಾರಕ ಗುಣಗಳ ನಿಬಂಧನೆಗಳು:

1) ಕೋನ ಕೋನ ಕೋನ ನಿರ್ದಾರಕ ಗುಣ : ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸಮರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. “ ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಎರಡು ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ಕೋನ ಕೋನ ನಿರ್ಧಾರ ಗುಣ ಎನ್ನುವರು.”

2) ಬಾಹು ಬಾಹು ಬಾಹು ನಿರ್ಧಾರಕ ಗುಣ : ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನುಪಾತ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ಬಾಹು-ಬಾಹು-ಬಾಹು ನಿರ್ಧಾರಕ ಗುಣ ಎನ್ನುವರು.

3) ಬಾಹು ಕೋನ ಬಾಹು ನಿರ್ಧಾರಕ ಗುಣ : ತ್ರಿಭುಜದ ಒಂದು ಕೋನವು ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಒಂದು ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದು ಆ ಕೋನಗಳನ್ನು ಉಂಟು ಮಾಡಿರುವ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಮರೂಪತೆಯ ಬಾಹು ಕೋನ ಬಾಹು ನಿರ್ಧಾರಕ ಗುಣ ಎನ್ನುವರು

ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ: “ತ್ರಿಭುಜದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಬಾಹುವಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆಯು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ”

ಉತ್ತರ : “ಎರಡು ತ್ರಿಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾದರೆ ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ಅನುಪಾತ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.”

ಉತ್ತರ: “ಎರಡು ಸಮರುಪ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತಿರ್ಣಗಳ ಅನುಪಾತವು ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.”

ಉತ್ತರ: “ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.”

ಉತ್ತರ: “ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ಬಾಹುವಿನ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾದರೆ ಆ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳ ನಡುವೆ ಲಂಬಕೋನ ಏರ್ಪಡುತ್ತದೆ.”

ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಅಂಕಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:
∆ABC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 64 cm²
∆DEF ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 121 cm²
EF = 15.4 cm
ತ್ರಿಭುಜಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ,

(∆ABC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) / (∆DEF ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)
=
BC² / EF²


64 / 121
=
BC² / (15.4)²


BC² =
(15.4)² × 64 / 121


⇒ BC =
√ 15.42x 64  / √ 121 


⇒ BC = 11.2 cm

ಉತ್ತರ:
ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ,
AC² = AB²+BC²
AC²=8²+6²
AC² = 64+36 = 100
⇒ AC = √ 100  = 10 cm

ಉತ್ತರ:

QS²=PS × PR
QS² = 8×2 = 16
QS = √16 = 4 cm

ಉತ್ತರ:

ಥೇಲ್ಸನ ಉಪ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ,
AB / AX
=
AC / AY


5 / 2
=
AC / 8


⇒ AC =
5x8 / 2
= 5×4 = 20 cm

ಉತ್ತರ:

DC = 11 m
AE = BC = 12 m
AB = CE = 6 m
DE = DC – CE = 11-6 = 5 m
ಪೈಥಾಗೋರಸ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ,
AD² =AE²+DE²
⇒ AD² =12²+5²
⇒ AD² = 144+25 = 169
⇒ AD = √ 169  = 13 m
ಕಂಬಗಳ ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ = 13 ಮೀ.

ಉತ್ತರ:

∆ABC ∼ ∆PQR (ಸಮಕೋನಿಯ ತ್ರಿಭುಜಗಳು)
ಸಮರೂಪ ಆಕೃತಿಗಳ ಅನುರೂಪ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.
∴
AB / PQ
=
BC / QR

{
ಕಂಬದ ಎತ್ತರ / ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರ
=
ಕಂಬದ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದ / ಕಟ್ಟಡದ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದ
}
6 / PQ
=
4 / 28

PQ =
6×28 / 4
= 6×7 = 42 ಮೀ.
. ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರವು 42 ಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

AD = 3 cm
BD = 9 cm
AE = 2 cm ಥೇಲ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ,
AD / BD
=
AE / CE

3 / 9
=
2 / CE

∴ CE =
2×9 / 3

⇒ CE = 2×3 = 6 cm

ಬಹು ಆಯ್ಕೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:

A)
AB / PQ
=
AC / PR
=
BC / QR

ಉತ್ತರ:
B) 2.4 ಮಾನಗಳು

ಉತ್ತರ:
B) 1 : 2

ಉತ್ತರ:
A) 1:2

ಉತ್ತರ:
B)
BD / AB
=
DE / AC
=
BE / BC

ಉತ್ತರ: A) 16cm

ಉತ್ತರ: B)

PQ / PS

ಉತ್ತರ: C) 12cm