ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನ್ವಯಗಳು

ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

ದೃಷ್ಠಿ ರೇಖೆ: ದೃಷ್ಠಿ ರೇಖೆಯು ವೀಕ್ಷಕನ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ, ವೀಕ್ಷಕನು ಗಮನಿಸುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆ ಎಳೆದ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಉನ್ನತ ಕೋನ: ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಕ್ಷಿತಿಜ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಮೇಲಿದ್ದು ದೃಷ್ಠಿ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷಿತಿಜ ರೇಖೆಯ ನಡುವೆ ಏರ್ಪಟ್ಟ ಕೋನವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿತ್ತಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಉನ್ನತ ಕೋನ ಎನ್ನುವರು.

ಅವನತ ಕೋನ: ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಕ್ಷಿತಿಜ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಕೆಳಗಿದ್ದರೆ ದೃಷ್ಠಿ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಕ್ಷಿತಿಜ ರೇಖೆಯ ನಡುವೆ ಉಂಟಾದ ಕೋನವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಿತ್ತಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಅವನತ ಕೋನ ಎನ್ನುವರು

ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:


AB ಯು ಗೋಪುರ.
BC ಗೋಪುರದಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರ.
∠ACB ಇದು ಉನ್ನತ ಕೋನ.
∠B = 90°
∠ACB = ⁡θ = 60°

tan⁡ θ =
AB / BC


tan⁡ 60 =
AB / BC


√ 3  =
AB / 15


AB = 15√ 3 

ಗೋಪುರ ಎತ್ತರ = 15√ 3  ಮೀಟರ್

ಉತ್ತರ:


AB ಚಿಮಣಿಯ ಎತ್ತರ.
CD ವೀಕ್ಷಕ.
∠ADE ಉನ್ನತ ಕೋನ.
∆ADE ಯಲ್ಲಿ LE=90°
∠ADE = 45°
AB = AE + BE
AB = AE + 1.5
DE = BC = 8.5 ಮೀ.
tan⁡ θ =
AE / DE

tan⁡ 45 =
AE / 28.5

1 =
AE / 28.5

AE = 28.5
AB = AE + BE = 28.5 + 1.5 = 30 ಮೀ.
ಚಿಮಣಿಯ ಎತ್ತರ = 30 ಮೀಟರ್

ಉತ್ತರ:


AB → ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರ
BD → ಧ್ವಜ ಸ್ತಂಭ
P → ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು
AB = 10 ಮೀ.
∆PAB ಯಲ್ಲಿ ∠A=90° ∠BPA=30°
tan θ =
AB / AP

⇒ tan⁡ 30 =
10 / AP

⇒
1 / √3
=
10 / AP

⇒ AP = 10√3 ಮೀ.
P = ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಟ್ಟಡಕ್ಕಿರುವ ದೂರ = 10√3 = 10 * 1.732 = 17.32 ಮೀ.
BD = ಧ್ವಜ ಸ್ತಂಭದ ಉದ್ದ = x ಮೀ.
AD = (AB+BD) = (10+x) ಮೀ.
∆PAD ಯಲ್ಲಿ ∠A = 90° ∠DPA = 45°
tan θ =
AD / AP

⇒tan⁡ 45 =
10+x / 10√3

⇒ 1 =
10+x / 10√3

⇒ 10√3 = 10+x
10√3-10 = x
⇒ x = 10(√3-1)
⇒ x = 10(1.732-1)
⇒ x = 10(0.732) = 7.32 ಮೀ.
ಧ್ವಜ ಸ್ತಂಭದ ಉದ್ದ = 7.32 ಮೀ.

ಉತ್ತರ:


∆DEF ಇದರಲ್ಲಿ ∠F = 90°
DF = 75   EF = 75
∴ tan⁡ θ =
ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು / ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು
=
DF / EF

⇒ tan ⁡θ =
75 / 75

⇒ tan⁡ θ = 1
tan ⁡θ = 1 = tan 45
∴ θ = x = 45°

ಉತ್ತರ:


∆XYZ ಇದರಲ್ಲಿ ∠Y = 90°
XZ = 100   ∠Z=45°
∴ cos ⁡Z =
ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹು / ವಿಕರ್ಣ
=
YZ / XZ

cos⁡ 45° =
x / 100

1 / √2
=
x / 100

⇒ x =
100 / √2

ಅಭ್ಯಾಸ ಲೆಕ್ಕಗಳು

1) 50 ಮೀ. ದೂರದಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ನಿಂತಿರುವ ಒಂದು ಸ್ತಂಭವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಆದರೆ ಆ ಸ್ತಂಭದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2) 50√3 ಮೀ. ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲಿಂದ ನೆಲದ ಮೇಲಿರುವ ಒಂದು ಕಾರನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಅವನತ ಕೋನ 60° ಆದರೆ ಕಟ್ಟಡದಿಂದ ಕಾರಿಗೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3) 20 ಮೀ. ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲಿಂದ ನೆಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಂಬದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಆಗಿದೆ. ಹಾಗೆ ಅದೇ ಕಂಬದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಅವನತ ಕೋನವು 60° ಆದರೆ ಕಂಬದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4) 1.5 ಮೀ. ಎತ್ತರದ ಹುಡುಗನೊಬ್ಬ 30 ಮೀ. ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡದಿಂದ ಸ್ಪಲ್ಪ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದಾನೆ. ಕಟ್ಟಡದ ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ನಡೆದು ಹೋಗುವಾಗ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಅವನ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ಉಂಟಾದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಯಿಂದ 60° ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅವನು ಕಟ್ಟಡದ ಕಡೆ ಎಷ್ಟು ದೂರ ನಡೆದು ಬಂದಿದ್ದಾನೆ?

5) ಒಂದು ನೇರವಾದ ಮರವು ಗಾಳಿಗೆ ಸಿಲುಕಿ ಅದರ ಬುಡದಿಂದ 6 ಮೀ. ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಮುರಿದಾಗ ಅದರ ತುದಿಯು ಮರದ ಬುಡದಿಂದ 8 ಮೀ. ದೂರದಲ್ಲಿ ನೆಲವನ್ನು ತಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಮರವು ಮುರಿದು ಬೀಳುವ ಮುನ್ನ ಇದ್ದ ಅದರ ತುದಿ ಹಾಗೂ ಮುರಿದು ಬಿದ್ದ ನಂತರ ಅದರ ತುದಿಯು ನೆಲವನ್ನು ತಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ( ಮಾರ್ಚ್/ಏಪ್ರಿಲ್ 2018)