ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳು

ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

x ಮತ್ತು y ಎಂಬ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿರುವ

a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0 ರೂಪದ

a12 + b22 ≠ 0 ಮತ್ತು a22 + b22 ≠ 0 ಆಗಿರುವ
a1, b1, c1, a2, b2, c2 ಗಳೆಲ್ಲಾ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಆದರ್ಶ ರೂಪ:

a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0

a1, b1, c1, a2, b2, c2 ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
a12 + b22 ≠ 0 ಮತ್ತು a22 + b22 ≠ 0.

ಪರಿಹಾರ:

a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0

ಈ ಜೋಡಿ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ

1)
a1 / a2
≠
b1 / b2
ಆದಾಗ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇಧಿಸುತ್ತವೆ. ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ, ಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿ.

2)
a1 / a2
=
b1 / b2
≠
c1 / c2
ಆದಾಗ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರ, ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ, ಅಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿಗಳು.

3)
a1 / a2
=
b1 / b2
=
c1 / c2
ಆದಾಗ ರೇಖೆಗಳು ಐಕ್ಯಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಹಾರ, ಅವಲಂಬಿತ ಜೋಡಿ.

ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ: A. ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಹೊಂದಿವೆ.

ಉತ್ತರ: A. a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

ಉತ್ತರ: B. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ: B. ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು

ಉತ್ತರ: ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಉತ್ತರ:
x + y = 14 ----- (1)
x – y = 4 ----- (2)
1 ಮತ್ತು 2 ನ್ನು ಕೂಡಿಸಲಾಗಿ,
2x = 18
x = (18 / 2) = 9
x + y = 14
9 + y = 14
y = 14 – 9
y = 5
∴ x = 9
  y = 5

ಉತ್ತರ:
10x + 3y = 75
6x – 5y = 11
6 ( 10x + 3y = 75 )
10 ( 6x – 5y = 11 )
60x + 18y = 450 ----- (1)
60x – 50y = 110 ----- (2)
ಸಮೀಕರಣ (1) ರಿಂದ (2) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ,
68 y = 340
Y = (340 / 68) = 5
10x + 3y = 75
10x + 3(5) = 75
10x + 15 = 75
10x = 75 – 15
10x = 60
x = 60/10 = 6
∴ x = 6
  y = 5

ಉತ್ತರ:
ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ x/y ಇರಲಿ.
x + y = 12 ----------- (1)
x/y+3 = 1/2
2x = y + 3
2x – y = 3 ------------ (2)
ಸಮೀಕರಣ (1) ಮತ್ತು (2) ನ್ನು ಕೂಡಿಸಲಾಗಿ,
3x = 15
x = 15/3 = 5
x + y = 12
5 + y = 12
y = 12 – 5
y = 7
∴ ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ 5/7

ಉತ್ತರ:
2x + y = 11
x + y = 8
1 ( 2x + y = 11 )
2 ( x + y = 8 )
2x + y = 11 ----------- (1)
2x + 2y = 16 ------------ (2)
ಸಮೀಕರಣ (1) ರಿಂದ (2) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ,
- y = -5
y = 5
2x + y = 11
2x + 5 = 11
2x = 11 – 5 = 6
x = 6/2 = 3
∴ x = 3
  y = 5

ಉತ್ತರ:
2x + y = 8

x = 0
  2(0) + y = 8
  y = 8
y = 0
  2x + 0 = 8
  2x = 8
  ➾ x = 8/2 = 4
x = 1
  2(1) + y = 8 y
  y = 8 – 2 = 6

x y
0 8
4 0
1 6

x – y = 1

x = 0
  0 – y = 1
  ➾ y = -1
y = 0
  x – 0 = 1
  ➾ x = 1

x y
0 1
-1 0

∴ x = 3 ಮತ್ತು y = 2

ಉತ್ತರ:
x - 2y = 0

x = 0
  0 – 2y = 0
  y = 0/-2y
  ➾ y = 0
x = 1
  1 – 2y = 0 -2y = -1
  2y = 1
  ➾ y = ½ = 0.5
x = 2
  2 – 2y = 0
  2 = 2y
  ➾ y = 1

x y
0 0
1 0.5
2 1

3x + 4y = 20

x = 0
  3(0) + 4y = 20
  y = 20/4
  ➾ y = 5
y = 0
  3x + 4 (0) = 20
  x = 20/3
  ➾ x = 6.6
x = 2
  3(2) + 4y = 20
  6 + 4y = 20
  ➾ 4y = 20 – 6
  4y = 14
  ➾ y = 14/4 =7/2 =3.5

x y
0 5
6.6 0
2 3.5


∴ x = 4 ಮತ್ತು y = 2

ರೂಢಿಲೆಕ್ಕಗಳು

ಒಂದು ದತ್ತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಿಗೆ 3 ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು 8/11 ಆಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಿಂದ 3 ನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು 2/5 ಆಗುತ್ತದೆ. ಆ ದತ್ತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
( ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆ ಪತ್ರಿಕೆ 2019-20 )

ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ 7 ರಷ್ಟು ಅದರ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ 4 ರಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಅಂಕಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 3 ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
( ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆ ಪತ್ರಿಕೆ 2019-20 )

10 ವರ್ಷಗಳ ಬಳಿಕ x ನ ವಯಸ್ಸು y ನ ವಯಸ್ಸಿನ ಎರಡರಷ್ಟು ಆಗುತ್ತದೆ. 10 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ x ನ ವಯಸ್ಸು y ನ ವಯಸ್ಸಿನ 6 ರಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅವರಿಬ್ಬರ ಈಗಿನ ವಯಸ್ಸುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಬಿಡಿಸಿ.
2x + y = 5
3x + 2y = 8

ಬಿಡಿಸಿ.
x – 2y = 0
3x + 4y - 20 = 0

ಬಿಡಿಸಿ.
3x – 5y = 20
6x – 10y = 40

ಬಿಡಿಸಿ.
x + 2y = 4
2x + 4y = 12

ಬಿಡಿಸಿ.
3x + 4y = 10
2x – 2y = 2

ಬಿಡಿಸಿ.
2x + y = 5
3x + 2y = 8

ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.
x + y = 7
3x – y = 1
( ಜೂನ್/ಜುಲೈ 2020 )
( ಉತ್ತರ: x = 2, y = 5 )

ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.
2x + y = 8
x + y = 5
( ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 2020 )
( ಉತ್ತರ: x = 3, y = 2 )

ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.
5x + y = 17
2x – 2y = 2
( ಉತ್ತರ: x = 3, y = 2 )

ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.
x - 2y = 0
3x -4y = 10
( ಉತ್ತರ: x = 10, y = 5 )

ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.
2x – 3y = 3
x + 2y = 5
( ಉತ್ತರ: x = 3, y = 1 )

ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.
x – y = 2
2x – y = 8
( ಉತ್ತರ: x = 6, y = 4 )

ನಕ್ಷಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಬಿಡಿಸಿ.
x – y = 3
2x – 2y = 5
( ಉತ್ತರ: ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲ. )